Системы счисления – это способ записи информации (чисел).
Какие бывают системы счисления?
Позиционные – значение каждой цифры зависит от ее позиции (разряда) в числе.
Непозиционные – каждая цифра имеет величину независящую от ее положения (разряда). Например, Египетская система счисления 1245386.
Римская система счисления
Попробуйте объяснить, почему именно так? LMXXXIV – 984
А теперь прибавьте к этому числу (не подглядывая в ответ) – VDDDXIIV
Решение: 1508 + 984 = 2492
Другие системы счисления
- Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами (потому что даже буквы – это цифры);
- Совокупность цифр – называется алфавитом системы счисления;
- Последовательность чисел, каждое из которых задает вес соответствующего разряда, называется базисом.
Алгоритм записи в Арабской системе счисления (АСС)
В десятичной системе счисления всего 10 цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Далее берется цифра 1 и к ней справа приписываются все остальные:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19.
Затем вместо 1 ставится 2, затем 3 и т.д.
Двоичная СС
В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1.
А какое будет следующее число?
Если вы ответили 10, то были совершенно правы. Потом будет 11, а потом 100, 101, 110, 111 и т.д.
Базисы у этих систем счисления
Двоичная и десятичные СС
Десятичная система счисления: 1, 10, 100, 1000, 10000…
Двоичная система счисления: 1, 2, 4, 8, 16…
То есть, по сути, базис – это степени основания (нулевая, первая, вторая, третья и т.д.).
Если их сравнивать, то можно сделать такую таблицу:
По факту – это значение идет с 0!
Восьмеричная СС
В восьмеричной системе счисления всего 8 цифр.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
Базис: 1, 8, 64, 512… – опять же, это степени.
Восьмерки – 1 – это нулевая степень. 8 – это первая степень. 64 – это вторая степень. 512 – третья и так далее…
Если вам не рассказывали или вы забыли, то любое число в нулевой степени, всегда равняется единице.
Как считать в восьмеричной системе счисления?
Берем: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20…
Шестнадцатеричная СС
В шестнадцатеричной системе счисления всего 16 цифр.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F;
Базис: 1, 16, 256, 4096…
Как считать в шестнадцатеричной системе счисления?
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Далее берется цифра 1 и справа ней приписываются все остальные:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F; и только потом уже 20 и так далее.
Что самое прикольное? В последствии вы очень полюбите двоичную систему счисления, а шестнадцатеричную люто возненавидите!
Как будут выглядеть числа в другой системе счисления?
Будет ли оно таковым?
Конечно же да. При этом для каждого такого числа будет соответствовать запись:
Все это называется полной формой числа.
Практика:
1011010 в двоичной системе счисления. Какая у него будет форма числа? Что на что будет умножаться?
В первую очередь необходимо пронумеровать разряды каждой цифры справа налево:
Как перевести число из p-ой в десятеричную систему счисления?
- Пронумеруйте все цифры справа налево, начиная с нуля;
- Умножьте каждую цифру на основание системы счисления в степени, надписанной над числом;
- Сложить полученные произведения, по правилам десятичной системы счисления.
Примеры:
Задания для самостоятельной работы
- Записанное римскими цифрами число XIX, запишите в десятичной системе счисления.
- Записанное римскими цифрами число CLX, запишите в десятичной системе счисления.
- Записанное римскими цифрами число MDCXLVIII, запишите в десятичной системе счисления.
- Запишите римскими цифрами 13.
- Запишите римскими цифрами 444.
- Запишите римскими цифрами 1692.
- В какой системе счисления произведено вычисление 5 + 4 = 11?
- В какой системе счисления произведено вычисление 4 + 11 = 20?
